Lever et coucher d'un astre

On a vu dans les pages sur les saisons apparaître la notion de rotation de la Terre autour de son axe combinée avec sa rotation autour du Soleil. La notion de jour a été ainsi définie. On va voir dans ce chapitre, plus précisément comment on définit et on calcule les levers et couchers du Soleil, de la Lune et des autres astres. 
Le lever et le coucher d'un astre est un phénomène astronomique que l'on calcule à partir de ses éphémérides. Dans le cas du Soleil, les levers et couchers définissent le jour et la nuit et, très simplement, on dit que le Soleil se couche lorsque sa hauteur au-dessus de l'horizon devient nulle en diminuant. De même, on dit qu'il se lève lorsque cette hauteur devient nulle en augmentant. Deux phénomènes viennent compliquer cette définition : 

• quel est le point sur le Soleil qui est pris en compte ? En effet le Soleil présente un disque apparent d'un demi degré : le Soleil est réputé couché lorsque c'est son centre ou son bord supérieur qui a une hauteur au-dessus de l'horizon nulle.
• La réfraction atmosphérique élève les objets vers le zénith. Ainsi, la réfraction nous montre le Soleil alors que celui-ci est déjà ou encore sous l'horizon. 

Pour le deuxième point c'est encore une question de définition. Il va falloir prendre la réfraction en compte car c'est le lever ou le coucher du Soleil apparent qui nous importe, mais la valeur de la réfraction à l'horizon est très mal connue et on va prendre une valeur conventionnelle supposée être la moins mauvaise.

Certaines notions, que nous verrons plus loin, accompagnent les levers et couchers des astres:

• le passage au méridien (supérieur) qui est l'instant où l'astre est au plus haut dans le ciel, dans la direction du Sud. On lui associe la hauteur du Soleil à cet instant. Le passage au méridien inférieur correspond à l'instant de la nuit où le Soleil est au plus bas sous l'horizon.
• le crépuscule qui définit une période où il ne fait ni nuit, ni jour. On lui associe une hauteur négative du Soleil sous l'horizon: -6° pour le crépuscule civil, -12° pour le crépuscule nautique et -18° pour le crépuscule astronomique.
• l'azimut au lever et l'azimut au coucher qui définit la direction dans laquelle le Soleil va se lever ou se coucher.

Le calcul de l'heure du lever et du coucher

Note : tous les exemples de calcul ci-après utilisent les éphémérides publiées dans l'Annuaire du Bureau des longitudes pour 1999.

Pour calculer l'instant du lever ou du coucher d'un astre dont on suppose connues les coordonnées équatoriales approchées alpha et delta au moment du phénomène considéré, on calcule d'abord l'angle horaire H au moment du lever ou du coucher par la formule : 
(1)    cos H = (sin h0 - sin phi sin delta)/(cos phi cos delta) 
où phi est la latitude du lieu et h0 un angle petit qui sera défini plus loin. 
Le temps sidéral approché du lever est alors : 
(2a)    T = alpha - H 
et celui du coucher, 
(2b) T = alpha + H 

On calcule ensuite, à partir de T, l'instant du phénomène en Temps universel. 
Si l'astre se déplace rapidement sur la sphère céleste (c'est le cas pour le Soleil, certaines planètes et surtout la Lune), on calcule pour l'instant trouvé des coordonnées alpha et delta plus exactes en interpolant les tables et l'on recalcule H puis T, par les formules (1) et (2), d'où l'instant du phénomène en UT. Pour la Lune on est quelquefois amené à effectuer une itération supplémentaire. 
Quant à h0, son expression générale est la suivante : 
h0 = P - R - 1/2 d - eta1 + eta2 
P est la parallaxe. On la néglige pour tous les astres sauf pour la Lune pour laquelle on la prend égale à 57'. 
R est la réfraction à l'horizon. Les tables publiées dans l'annuaire du Bureau des longitudes utilisent la théorie de la réfraction de Radau qui conduit à R = 36' 36" mais l'on pourra utiliser la valeur R = 34' adoptée dans les Ephémérides Nautiques publiées par le Bureau des Longitudes et dans d'autres publications étrangères. 
1/2 d est le demi-diamètre apparent de l'astre. On l'introduit dans la formule quand on calcule le lever et le coucher du bord supérieur du Soleil et de la Lune et non pas le lever et le coucher du centre de l'astre. On prend, aussi bien pour le Soleil que pour la Lune, 1/2 d = 16'. 
Si l'observateur est à une altitude A au-dessus du niveau de la mer on introduit dans h0 l'angle eta1 donné par : 
cos eta1 = a / (a + A), où a est le rayon de la Terre. 
On prend a = 6,378,140 m. On peut utiliser la formule approchée : 
eta1 = 1' 56" racine carrée de(A) 
A étant exprimé en mètres. 
Si l'on cherche le lever ou le coucher d'un astre en un lieu dont l'horizon est limité par des collines ou des montagnes d'altitude D situées à la distance l de l'observateur, on ajoutera à h0 l'angle eta2 tel que : 
tan eta2 = D/l . 
On ne cherchera pas à obtenir les instants du lever ou du coucher des astres avec une précision supérieure à une minute, la valeur exacte de la réfraction à l'horizon au moment du phénomène étant trop mal connue. 

Exemples 

1. Coucher à Bordeaux de l'étoile Sirius le 20 avril 1999. 

Les coordonnées moyennes de l'étoile pour 1999 sont : 
alpha = 6h 45m 6s ; delta = - 16° 42' 53" . 
En faisant les corrections de précession pour le 20 avril on trouve : 
alpha = 6h 45m 7s ; delta = - 16° 42' 54" . 
Ici P = 0, 1/2 d = 0, eta1 = 0, eta2 = 0; 
d'où : h0 = - R = - 34' . 

Les coordonnées de Bordeaux sont : 
lambda = + 2m 7s ; phi = + 44° 50' 7" . 

On déduit de la formule (1) : 
cos H = 0,28402 ; d'où H = 73,500° = 4h 54m 0s. 

Et le temps sidéral du coucher est : 
T = alpha + H = 11h 39m 7s. 
Le temps sidéral de Greenwich est donc : 
T1 = T + lambda = 11h 41m 14s. 
Le temps sidéral de Greenwich à 0h le 20 avril 1999 est 
T0 = 13h 50m 33s. 
D'où : 
Tt = T1 - T0 = 21h 50m 41s. 
En convertissant cet intervalle de temps sidéral en un intervalle de temps moyen on trouve que Sirius se couche à Bordeaux le 20 avril 1999 à : 
t = 21h 47m 6s (UT). 

2. Coucher du bord supérieur du Soleil à Paris le 26 janvier 1999. 

On prendra R = 34'. 
On a donc : 
h0 = - R - 1/2 d = - 50' . 

Les coordonnées de l'observatoire de Paris sont : 
lambda = - 9m 21s ; phi = 48° 50' 11". 

Les coordonnées du Soleil à 0h le 26 janvier sont 
alpha = 20h 31m 44s ; delta = - 18° 52,6' . 

On en déduit par la formule (1) : 
H = 68,4248° = 4h 33m 42s. 
D'où le temps sidéral du coucher : 
T = alpha + H = 25h 5m 26s. 
à Greenwich T1 = T + lambda = 24h 56m 5s. 
Le 26 janvier 1999 à 0h, le temps sidéral de Greenwich est 
T0 = 8h 19m 23s. 
D'où : 
Tt = T1 - T0 = 16h 36m 42s. 
Ce qui, exprimé en temps moyen, donne pour heure approchée du coucher : 
t = 16h 33m 59s (UT). 

Calculons, en interpolant la table de l'éphéméride donnée par l'annuaire du Bureau des longitudes, les coordonnées du Soleil à cet instant; on trouve : 
alpha = 20h 34m 37s; delta = - 18° 42,2'. 
En recommençant les calculs à l'aide de la formule (1) on trouve : 
H = 68,6610° = 4h 34m 39s. 
D'où finalement Tt = 16h 40m 32s. 
Ce qui donne pour le coucher t = 16h 37m 48s (UT). 
On peut s'assurer qu'une itération supplémentaire conduirait au même résultat que l'on considère donc comme définitif. 
Or on trouve dans la table de l'éphéméride donnée dans l'annuaire du Bureau des longitudes que le coucher du Soleil est à 16h 36m (UT). La différence est due à ce que dans la table on donne le coucher du centre et que de plus, la réfraction à l'horizon a été prise égale à 36' 36". 
 

Instant approché du lever ou du coucher d'un astre

La formule suivante donne les différences des angles horaires au lever ou au coucher d'un astre de déclinaison delta, entre un lieu donné de latitude phi et Paris (latitude phi0) : 
Delta H = +/- 5,2min x {(phi - phi0)/(1 -0,03[phi -phi0])} x tan(1,8delta +44') 
où Delta phi = phi - phi0 est exprimé en degrés et Delta H en minutes d'heure; le signe - correspond au lever, le signe + au coucher. 

La formule est valable, à 0,5 min près, pour delta compris entre - 30° et + 30°. Elle permet le calcul, en Temps universel, du lever ou du coucher du Soleil, en un lieu de latitude phi comprise entre + 42° et + 54°. Il suffit d'ajouter au Temps universel du lever ou du coucher à Paris une correction égale à L + Delta H, L étant la longitude du lieu par rapport au méridien de Paris (comptée de 0h à 12h, positivement vers l'Ouest). 
Pour la Lune (pour la France, la déclinaison de la Lune peut être choisie égale à celle qui correspond au lever ou au coucher à Paris) cette correction doit être multipliée par la valeur du jour lunaire pour la date considérée, rapportée au jour moyen. Le même mode de calcul s'applique aux planètes et aux étoiles; la correction L + Delta H doit être multipliée par la valeur du jour défini par l'intervalle de deux passages consécutifs de l'astre au méridien, rapportée au jour moyen. 
En ce qui concerne le Soleil, on trouve, ci-après, un graphique donnant les valeurs de Delta H pour toutes les latitudes comprises entre + 42° et + 54°, en fonction de la date. 

Azimut d'un astre à son lever et à son coucher

L'azimut a d'un astre de déclinaison delta à son coucher en un lieu de latitude phi (alpha et lambda ne jouent ici aucun rôle) est donné par : 
cos h0 cos a = sin h0 tan phi - {sin delta/ cos phi) 
L'azimut au lever est l'opposé de l'azimut au coucher. 

EXEMPLE : 

Déterminons l'azimut du Soleil à Paris le 26 janvier 1999 à son coucher. 
On a : 
cos h0 cos a = sin h0 tan phi - {sin delta/ cos phi) 
cos a = 0,4690 et a est peu différent de 62,0° 
(a entre 180° et 360° pour un lever, entre 0° et 180° pour un coucher). 
 

Variation de l'heure de lever et de coucher du Soleil sur le territoire français

Chacun sait que le Soleil ne se lève pas à la même heure à Paris, à Brest ou à Nice. Comment évolue cette différence ? Est-elle constante au cours de l'année ?  En fait, deux facteurs interviennent, la longitude et la latitude du lieu considéré. Pour la première, on conçoit aisément que les territoires situés les plus à l'est voient le Soleil avant les autres. Pour la seconde, on sait que plus on va vers le nord en été, plus les jours sont longs, c'est-à-dire plus le Soleil se lève plus tôt et se couche plus tard. C'est le contraire en hiver. Tout cela se combine et, ainsi, le jour du solstice d'été le Soleil se lève à la même heure à Paris et à Nice mais se couche bien plus tôt à Nice qu'à Paris. Les cartes ci-dessous (cliquez dessus pour les agrandir), montrent les lieux où le Soleil se lève et se couche à la même heure qu'à Paris pour les dates des solstices et de l'équinoxe de printemps. Les zones grisées correspondent aux zones où le Soleil est couché. 

Solstice d'hiver	Equinoxe de printemps	Solstice d'été
lever du Soleil à Paris	lever du Soleil à Paris	lever du Soleil à Paris
coucher du Soleil à Paris	coucher du Soleil à Paris	coucher du Soleil à Paris

ECLAIREMENT DE LA TERRE PAR LE SOLEIL

Durée du jour

On appelle jour (ne pas confondre avec le jour, unité de temps égale à 24 heures) l'intervalle de temps qui sépare le lever et le coucher du Soleil en un lieu. 
Le jour maximal a lieu au solstice d'été ou d'hiver, suivant que la latitude est boréale ou australe; le jour minimal a lieu à l'autre solstice. 
Le tableau suivant donne les durées maximale et minimale du jour à différentes latitudes. 

A l'équateur, la durée du jour dépasse 12 h du fait de la réfraction qui nous montre le Soleil alors qu'il se trouve encore en-dessous de l'horizon.
 
Pour les grandes latitudes, le Soleil ne se couche pas (ou ne se lève pas) quand la somme (ou la différence) algébrique de sa déclinaison et de la latitude du lieu est au moins égale à 90° en valeur absolue. 
On a ainsi le jour polaire (ou la nuit polaire) dont les durées sont données dans le tableau ci-dessous. 

Crépuscule

En astronomie, on appelle crépuscule la lueur, croissante avant le lever du Soleil, décroissante après son coucher, qui provient de l'éclairement des couches supérieures de l'atmosphère par les rayons de l'astre situé sous l'horizon, mais très voisin de celui-ci. Dans le langage courant, le crépuscule du matin est appelé aube ou aurore. 

Le crépuscule du soir, par exemple, commence au coucher du Soleil et finit lorsque le centre du Soleil est abaissé de l'angle h au-dessous de l'horizon. On définit ainsi le crépuscule civil (h = 6°), le crépuscule nautique (h = 12°), et le crépuscule astronomique (h = 18°). 

Pour connaître l'instant du début ou de la fin du crépuscule on utilisera la formule (1) donnée dans le paragraphe concernant les levers et couchers : 
cos H = (sin h0 - sin phi sin delta)/ (cos phi cos delta) 
Dans cette formule h0 sera égal à - 6° pour le crépuscule civil, - 12° pour le crépuscule nautique, et - 18° pour le crépuscule astronomique; delta est la déclinaison du Soleil au moment du coucher ou du lever. 

On calcule ensuite, comme pour le lever ou le coucher 
Tt = alpha +/- H + lambda - T0, 
où alpha est l'ascension droite du Soleil au lever ou au coucher, lambda la longitude du lieu, et T0 le temps sidéral de Greenwich à 0h du jour considéré; on utilise le signe - pour un début de crépuscule, le signe + pour une fin de crépuscule. 

EXEMPLE : 

Fin du crépuscule civil à Paris le 26 janvier 1999. 

On a vu précédemment que le coucher du Soleil à Paris à cette date avait lieu à 16h 37m 48s UT et que les coordonnées du Soleil à cet instant étaient : 
alpha = 20h 34m 37s, ; delta = - 18° 42,2'. 
Par ailleurs, h0 = - 6° (crépuscule civil). 
On a alors H = 77,3172° = 5h 9m 16s. 
On en déduit que Tt = 17h 15m 9s et, en convertissant cet intervalle de temps sidéral en temps moyen, que la fin du crépuscule civil le 26 janvier 1999 a lieu à 17h 12m 19s UT. 
Le crépuscule civil a donc duré : 
17h 12m 19s - 16h 37m 48s = 34m 31s. 
Au lieu d'effectuer le calcul ci-dessus on peut, après avoir calculé le lever ou le coucher, calculer le début ou la fin du crépuscule en retranchant (pour un lever) ou en ajoutant (pour un coucher) la durée du crépuscule telle qu'on la trouve dans les tableaux ou les graphiques ci-dessous. 

Crépuscules civil, nautique et astronomique : 

Crépuscule civil. --- Il commence le soir au coucher du Soleil et finit au moment où le centre de cet astre est abaissé de 6° au-dessous de l'horizon. A ce moment, si le temps est clair, commencent à paraître les planètes et les étoiles de première grandeur. Le matin, les phénomènes sont inverses. 

Le Soleil ne s'abaisse pas de 6° au-dessous de l'horizon quand la somme algébrique de sa déclinaison et de la latitude du lieu est au moins égale à 84° en valeur absolue. 
Les renseignements relatifs à la durée du crépuscule civil en fonction de la latitude sont donnés par la table et le graphique ci-dessous. Le premier tableau  fournit, pour les latitudes boréales de 0° à 60°, la durée, exprimée en minutes, du crépuscule civil. Le même tableau peut être utilisé pour les latitudes australes, à condition d'ajouter ou de retrancher 6 mois à la date. 
L'abaque qui suit donne directement cette durée pour les latitudes boréales de 42° à 51°, donc en particulier pour la France. Les traits verticaux délimitent les intervalles de temps de 8 jours. 

Crépuscule nautique. --- Il commence le soir au coucher du Soleil, et finit au moment où le centre de cet astre est abaissé de 12° au-dessous de l'horizon. A ce moment, si le temps est clair, commencent à paraître dans le sextant les étoiles de deuxième grandeur, alors que la ligne d'horizon est encore visible. Le matin, les phénomènes sont inverses. 
Le Soleil ne s'abaisse pas de 12° au-dessous de l'horizon quand la somme algébrique de sa déclinaison et de la latitude du lieu est au moins égale à 78° en valeur absolue. 
Le tableau ci-après fournit, pour les latitudes boréales de 0° à 60°, la durée, exprimée en minutes, du crépuscule nautique. Le même tableau peut être utilisé pour les latitudes australes, à condition d'ajouter ou de retrancher 6 mois à la date. 

Crépuscule astronomique. --- Il commence le soir au coucher du Soleil, et finit au moment où le centre de cet astre est abaissé de 18° au-dessous de l'horizon. A ce moment, si le temps est clair, apparaissent à l'oeil nu les étoiles de sixième grandeur; il fait nuit. Le matin, les phénomènes sont inverses. 
Le Soleil ne s'abaisse pas de 18° au-dessous de l'horizon quand la somme algébrique de sa déclinaison et de la latitude du lieu est au moins égale à 72° en valeur absolue. 
Les renseignements relatifs à la durée du crépuscule astronomique en fonction de la latitude sont donnés dans le tableau ci-dessous qui fournit, pour les latitudes boréales de 0° à 60°, la durée du crépuscule astronomique. 
Le même tableau peut être utilisé pour les latitudes australes, à condition d'ajouter ou de retrancher 6 mois à la date. 

Crédit : IMCCE/BDL

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